Question

对数函数解

在图片上，希望数学高人来解答，怎么写答案我也不知道，希王你们能写清楚点，谢谢！我不会，真不会1
很急，星期五晚上之前就完事

https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/%B0%CB%C5%D7%C6%FA%B0%CB%B7%C5%C6%FA/pic/item/77b701001263dfa3e850cd20.jpeg

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都是大题，解答题

Answer 1

图片呢？

看到图片了，也看到 shawhom 的解答了，不过发现有错误，现把我的解答给出。

1.
因 f(x+2)=-f(x)
所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
故函数为周期函数，周期为4
又f(x)为奇函数，故 f(-x)=-f(x)
由于
f(log1/2 24)=f(-log2 16*3/2)=-f(4+log2 3/2)=-f(log2 3/2）
因为0< log2 3/2 <1
而x∈[0,1] 时，f(x)=2^x-1
故 f(log1/2 24)=-f(log2 3/2)=-[2^(log2 3/2)-1]=-(3/2-1)=-1/2.

2.
因 log(ax^2-x）底数>1, 要使[2, 4]上函数为增函数，需使 ax^2-x>0且为增函数。
令f(x)=ax^2-x=x(ax-1)
a=0 时，f(x)=-x 为减函数，不满足要求；
a≠0 时，f(x)为一抛物线，与x轴有两个交点x=0, x=1/a
当a>0，抛物线开口向上，要使[2, 4]上 ax^2-x>0且为增函数，需使
1/a<2，即 a>1/2.
当a<0，抛物线开口向下，在[2, 4]上 ax^2-x<0且为减函数，不满足要求。
综上得：a>1/2.

3.
函数应该是 f(x)=log (a) [(x+b)/(x-b)] 吧？
由于 (x+b)/(x-b)>0，b>0，故 x>b，或 x<-b.

由于 f(-x)=log (a) [(-x+b)/(-x-b)]=log (a) [(x-b)/(x+b)]=-f(x)，
所以函数为奇函数。

因为函数为奇函数，所以在x<-b，x>b上具有同样的单调性，且要分0<a<1和a>1两种情况，故以下只讨论x<-b的情况，如下：
x<-b时，设 x1<x2<-b，则
f(x2)-f(x1)= log (a) [(x2+b)/(x2-b)] - log (a) [(x1+b)/(x1-b)]
= log (a) [(x2+b)(x1-b)/(x2-b)(x1+b)]
= log (a) [x2x1-b(x2-x1)-b^2]/[(x2x1+b(x2-x1)-b^2)]
因 x1<x2<-b，所以x2-x1>0，且x1x2+b(x2-x1)-b^2>x1x2-b(x2-x1)-b^2>0
故
(x1x2+b(x2-x1)-b^2)/(x1x2-b(x2-x1)-b^2)<1
若 0<a<1，则
log (a) [x2x1-b(x2-x1)-b^2]/[(x2x1+b(x2-x1)-b^2)]>0，即
f(x1)-f(x2)>0
函数单调递增；
若 a>1，则
log (a) [x2x1-b(x2-x1)-b^2]/[(x2x1+b(x2-x1)-b^2)]<0，即
f(x1)-f(x2)<0
函数单调递减。

4.
因为 f(x+4)=f(x)，函数是周期为4的周期函数，而当2≤x≤6时，f(x)=(1/2)^|x-m|+n ，所以
-2≤x≤2时，f(x)=f(x+4)=(1/2)^|x+4-m|+n ，
因此由 f(2)=(1/2)^|2-m|+n 和 f(2)=(1/2)^|2+4-m|+n ,
得到：(1/2)^|2-m|=(1/2)^|6-m|，
由于 |x-m|≥0，而 (1/2)^x 在[0,+∞)上是单调增函数，所以必有
|2-m|=|6-m|
当m<2时，得 2-m=6-m，不成立；
当2≤m≤6时，得 m-2=6-m，m=4；
当m>6时，得 m-2=m-6，不成立；
于是得 m=4；

又由 f(4)=(1/2)^|4-4|+n=(1/2)^0+n=1+n=31
得 n=30；

因为 log m=log 4<1且>0，log n=log 30=log 3*10=1+log 3<2且>1，
所以 2≤4<4+log m<5<4+log n≤6，
而(1/2)^x 是单调递减函数，于是
f(log m)-f(log n)=f(4+log m)-f(4+log n)
=[(1/2)^| 4+log m -m|+n]-[(1/2)^| 4+log n -m|+n]
=(1/2)^|4+log4 -4|-(1/2)^|4+log4 -4|
=(1/2)^(log4) - (1/2)^(log30) >0
因此，f(log m)>f(log n).

5.
因为1-ax>0，0<a<1，所以定义域为 x<1/a
设x1<x2<1/a，则 1-ax1>1-ax2>0，(1-ax2)/(1-ax1)<1，故
f(x2)-f(x1)=log(a) [(1-ax2)/(1-ax1)]>0.
所以函数是(-∞, 1/a)上的增函数。

由f(x)= log(a) (1-ax)>1，0<a<1，得
0<1-ax<a
解得：1/a-1<x<1/a.

5.
首先，a>0，且a≠1.
P：由于函数 y=log(a) (x+1)在x∈(0,+∞)上单调递减，可知
0<a<1.
Q：由于曲线 y=x^2+(2a-3)x+1 与x轴有两个不同交点，故
△=(2a-3)^2-4=(2a-5)(2a-1)>0
得：a>5/2，或0<a<1/2
因为P,Q只有一个正确，则a的取值为：
1/2≤a<1或a>5/2.

Answer 2

因为f(x)为奇函数，则
f(-x)=-f(x)
而f(x+2)=-f(x)
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
则函数为周期函数，周期为4
f(log1/2 24)=f(-log2 24）=f(-4+log2 3/2）=f(log2 3/2）
因为0< log2 3/2 <1
而x∈[0,1]，f(x)=2^x-1
则f(log2 3/2）=2^（log2 3/2）-1=3/2-1=1/2

log(ax^2-x），底数>1,所以当真数为增函数时，整个函数就为增函数
令f(x)=ax^2-x=x(ax-1)
显然与x轴有两个交点x=0 ,x=1/a
当a>0，抛物线开口向上，则
则1/a<2时，满足题意。
0<a<1/2

当a<0，抛物线开口向下，则对称轴以左都单增
则1/2a>4
f(2)>0
f(4)>0
无解。

综合得：0<a<1/2

显然，
(x+b)/(x-b)>0
则x>b，x<-b

f(-x)=log(b-x)/(-x-b)=log(x-b)/(x+b)=-f(x)
所以函数为奇函数

因为函数为奇函数，所以在x<-b，x>b上具有同样的单调性
则在定义区间内，x1<x2<-b
则f(x1)-f(x2)=log(x1+b)/(x1-b)-log(x2+b)/(x2-b)
=log(x1+b)(x2-b)/(x1-b)(x2+b)
=log(x1x2+b(x2-x1)-b^2)/(x1x2-b(x2-x1)-b^2)
x1<x2.所以x2-x1>0
则x1x2+b(x2-x1)-b^2>x1x2-b(x2-x1)-b^2
且(x1x2+b(x2-x1)-b^2)，(x1x2-b(x2-x1)-b^2)均大于0
则(x1x2+b(x2-x1)-b^2)/(x1x2-b(x2-x1)-b^2)>1
所以log(x1x2+b(x2-x1)-b^2)/(x1x2-b(x2-x1)-b^2)>0
则f(x1)-f(x2)>0
函数单减

......有的没有打印出来！

显然定义域为1-ax>0
则x<1/a
设x1<x2<1/a
则f(x1)-f(x2)=loga(1-ax1)/(1-ax2)
因为0<a<1，x1<x2<1/a
则1-ax1>1-ax2>0
则(1-ax1)/(1-ax2)>1
所以loga(1-ax1)/(1-ax2)<0
所以函数单增

f(x)>1
即loga(1-ax)>1
因为0<a<1，所以
1-ax<a
则x>1/a-1

函数y=loga(x+1)在给定x∈[0,1]上单减，
而x+1是增函数。
则只有0<a<1

y=x^2+(2a-3)x+1 与x轴有两个交点，则
△=(2a-3)^2-4>0
则(2a-5)(2a-1)>0
则a>5/2，或a<1/2

因为P,Q只有一个正确，则a的取值为：
1/2<a<1,a>5/2