Question

从1000以内的自然数中有奇数个因数的数有多少个?

Answer 1

若x=a^m*b^n(a,b为质数)

任取约数y,有y=a^p*b^q(p为0-m整数,q为0-n整数)

则x有（m+1）*（n+1）个约数

所以,若x有奇数个因数,则

x=a^p*b^q*···（p,q···均为偶数）

换句话说,x一定是完全平方数

x为完全平方数即1,4,9···31^2（32^2=1024>1000）共31个

公因数

定义：两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数。

两个或多个整数的公因数里最大的那一个叫做它们的最大公因数。

推论：1是任意个数的整数之公因数。

两个成倍数关系的非零自然数之间，小的那一个数就是这两个数的最大公因数。

Answer 2

引理：
若x=a^m*b^n(a,b为质数)
任取约数y,有y=a^p*b^q(p为0-m整数,q为0-n整数)
则x有（m+1）*（n+1）个约数
所以,若x有奇数个因数,则
x=a^p*b^q*···（p,q···均为偶数）
换句话说,x一定是完全平方数
x为完全平方数即1,4,9···31^2（32^2=1024>1000）共31个