Question

线性代数中线性相关问题求解！

设向量组a1a2a3.....an-1线性相关，且它的任意n个向量线性无关。讨论a1和an能否用a1a2a3.....an-1表示？（总感觉题目是错的）

Answer 1

题目应该是有些问题。因为a1, a2, ..., a(n-1) 是n-1 个向量线性相关，然后有任意n个向量线性无关。总共就n-1个向量为什么会出现n个向量。 感觉是 a1, a2, ... , an。 这n个向量线性相关。然后前n-1个向量线性无关。如果是这样 an 剩余n-1 向量表示。 证明。
因为a1, a2, ... , an线性相关。故
设k1, k2, ... , kn为不全为零的实数， 且
k1×a1+ k2×a2+... +k(n-1)×a(n-1)+kn× an=0 ，
若kn不为零，则an 可以有其他n-1 个向量线性表示出。
若kn=0, 则k1×a1+ k2×a2+... +k(n-1)×a(n-1)=0
由于a1, a2, ... , a（n-1）线性无关， 因此k1=k2=...=k(n-1)=0，矛盾。
故kn不为零, 则an可以由其他向量线性表示出。