Question

已知函数f（x）=-x2+6xcosα-16cosβ，且对任意实数t，均有f（3...

已知函数f（x）=-x2+6xcosα-16cosβ，且对任意实数t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2-|t|）≤0恒成立． （Ⅰ）求证：f（4）≥0，f（2）=0； （Ⅱ）求函数f（x）的解析式； （Ⅲ）是否存在实数a，使得函数g（x）=f（x）+（a+1）x2-8x-a+212在x∈[1，4]存在零点？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：对任意实数t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2-|t|）≤0恒成立．
取t=π，得f（3-cosπ）≥0，即f（4）≥0，
取t=0，得f（3-cos0）≥0⇒f（2）≥0，f（1+2-|0|）≤0⇒f（2）≤0，
则散祥世f（2）=0；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（2）=-4+12cosα-16cosβ=0⇒4cosβ=3cosα-1①
f（4）=-16+24cosα-16cosβ≥0⇒4cosβ≤6cosα-4②
将①代入宴猛②，得cosα≥1，从而cosα=1，cosβ=12，
故f（x）=-x2+6x-8；
（Ⅲ）解：假设存在实数a符合题意．冲肢由（Ⅱ）知f（x）=-x2+6x-8，
从而g(x)=ax2-2x-a+52，
1）当a=0时，零点为x=54，符合要求．
当a≠0时，由于g(1)=12＞0，
2）若g（x）在x∈[1，4]有两个零点（含相等），则{△=4-4a(-a+52)≥01＜1a≤4g(4)=15a-112≥0}⇒1130≤a≤12，
3）若g（x）在x∈[1，4]有一个零点，则{a≠0g(4)≤0}⇒a≤1130且a≠0．
综合可知：存在a，且a的范围为：(-∞，12]．