Question

一道高数极限题，求解，谢谢

Answer 1

用洛必达法则吧，分子求导得-cosxsin(sinx)+sinx, 分母求导得4x^3, 再洛一次，分子求导得sinxsin(sinx)-(cosx)^2cos(sinx)+cosx, 分母求导得12x^2.
其中sinxsin(sinx)/(12x^2)可以等阶替换并约分，得到sin(sinx)/(12sinx)，这个极限是12分之一,另求[-(cosx)^2cos(sinx)+cosx]/(12x^2)的极限，继续洛必达，分子求导得sin2xcos(sinx)+(cosx)^3sinx(sinx)-sinx, 分母求导得24x.
现在差不多可以得到答案了，其中sin2xcos(sinx)/(24x)的极限为1/12.
(cosx)^3sinx(sinx)/(24x)的极限为1/24，而-sinx/(24x)的极限为-1/24.
因此原极限=1/12+1/12+1/24-1/24=1/6.

Answer 2

拉格朗日中值定理

Answer 3

不要拆成两项，直接展开，取四阶无穷小。
cos(sinx) = 1 - (sinx)^2/2 + (sinx)^4/4! = 1 - (1/2)(x-x^3/3!)^2 + (x - x^3/3!)^4, as x->0
cosx = 1-x^2/2!+x^4/4!
两式相减：cos(sinx) - cosx = (1/6)x^4
所以，lim{x->0} [cos(sinx) - cosx]/x^4 = 1/6

Answer 4

把cosx与sinx做泰勒展开，取前两项。因为x趋于零，所以cos(sinx)-cosx～-(sinx^2)/2+x^2/2，再把sinx～x-x^3/6，代入上面的式子，消去的x的平方项，上面是x^4/6，下面是x^4，得到结果是1/6。