Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．（1）求函数f（...

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R． （1）求函数f（x）的单调递增取区间； （2）将函数y=f（x）的图象向左平移π4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的最大值及取得最大值时的x的集合．

Answer 1

解：（1）f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=2sin(2x-π4)，
当2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2，(k∈Z)即kπ-π8≤x≤kπ+3π8，(k∈Z)，
因此，函数f（x）的单调递增取间为[kπ-π8，kπ+3π4](k∈Z)．
（2）由已知，g(x)=2sin(x+π4)，
∴当sin(x+π4)=1，即x+π4=2kπ+π2，也即x=2kπ+π4(k∈Z)时，g(x)max=2．
∴当{x|x=2kπ+π4(k∈Z)}，g（x）的最大值为2．