Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2c...

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5， （1）求角B的大小； （2）若a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）∵2cos2B=8cosB-5，
∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0．
∴4cos2B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=12或cosB=32（舍去）．
∵0＜B＜π，∴B=π3．…（6分）
（2）法一：∵a+c=2b．
∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(a+c)242ac=12
化简得a2+c2-2ac=0，解得a=c．
∴△ABC是边长为2的等边三角形．
∴△ABC的面积等于3…（12分）
法二：∵a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB=2sinπ3=3．
∴sinA+sin（2π3-A）=3，
∴sinA+sin2π3cosA-cos2π3sinA=3．
化简得32sinA+32cosA=3，∴sin（A+π6）=1．
∵0＜A＜π，∴A+π6=π2．
∴A=π3，C=π3，又∵a=2
∴△ABC是边长为2的等边三角形．
∴△ABC的面积等于3．…（12分）