Question

设数列an,bn对任意的正整数n满足an≤bn≤an+1

已知正项数列an.bn满足：对任意正整数n,都有an,bn,a（n+1）成等差数列,bn、a（n+1）b（n+1）成等比数列,且a1=10.a2=15.求证数列根号下bn是等差数列.求数列an.bn的通项公式

Answer 1

bn、a(n+1)、b(n+1)成等比
所以 a(n+1)^2=bn*b(n+1)
所以 a(n+1)=√[bn*b(n+1)]
所以 an=√[b(n-1)*bn]
因为 an、bn、a(n+1)成等差
所以 2bn=an+a(n+1)
所以 2bn=√[b(n-1)*bn]+√[bn*b(n+1)]
所以 2√bn=√b(n-1)+√b(n+1)
所以 数列{√bn}是等差数列
a1=10,a2=15,那么 b1=12.5
b1=12.5,a2=15,那么 b2=18
所以 公差d=√18-√12.5=√2/2
所以 √bn=(5/2)√2+(√2/2)*(n-1)=2√2 +(√2/2)n
所以 bn=8+4n+n^2/2
所以 an=√[b(n-1)*bn]
=√[(8+4n+n^2/2)*(9/2 +3n+n^2/2)]
=√(n^2/2 +7n/2 +6)^2
=(n^2+7n+12)/2
即 an=(n^2+7n+12)/2,bn=(n^2+8n+16)/2