Question

已知函数f（x）满足2f（x）+f（1x）=x（1）求f（1）的值；（2）求f（...

已知函数f（x）满足2f（x）+f（1x）=x （1）求f（1）的值； （2）求f（x）的解析式； （3）若g（x）=3f（x）+ax，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）令x=1得
2f（1）+f（1）=1，∴f（1）=13．
（2）∵2f（x）+f（1x）=x，用
1x 替换得
f（x）+2f（1x）=x，解得f（x）=2x2-13x．
（3）g（x）=3f（x）+ax=2x2-1x+ax=2x+a-1x，∴g′（x）=2-a-1x2，
∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g′（x）≤0
在区间（0，2]上恒成立，即
2-a-1x2≤0，
∴a≥2x2+1 而
x∈（0，2]，则
2x2+1∈（0，9]，∴a≥9，
∴实数的取值范围为[0，9）．