Question

在三角形ABC中,角B等于60度,角平分线AD、CE，相交于点O,求证AC=AE+CD

在三角形ABC中,角B等于60度,角平分线AD、CE,相交于点O,求证AC=AE+CD

Answer 1

点F是△ABC角平分线交点，也是三角形的内心。那么，以F向三边作垂线，分别交AC、AB、BC于N、G、M。于是：FN=FG=FM。很容易得到：CM=CN，AN=AG，BM=BG。所以：CM+AG=CN+AN=AC。那么，我们现在只要证明了DM=GE，那就行了。为了方便，设∠A=∠BAC，
∠C=ACB。∠ADC=∠B+∠A/2=60+∠A/2。∠BEC=∠C/2+∠A=
（180-∠B-∠A）/2+∠A=（180-60-∠A）/2+∠A=60+∠A/2=∠ADC。
因为∠FMD=∠FEG=90°，FM=FG，那么，△FDM≌△FGE。所以，DM=GE

Answer 2

在ac上取一点,连接of,使角aof=角aoe
角aoe=180度-角bad-角aeo
=180度-(1/2)角bac-(角abc+角bce)
=180度-(1/2)(角bac+角acb)-角abc
=180度-(1/2)(180度-角abc)-角abc
=90度-(1/2)角abc
=60度
∴:角aof=角aoe=角doc=60度
角cof=180度-角aoe-角aof=60度=角doc
三角形aeo全等于三角形afo
三角形doc全等于三角形foc
ae=af
dc=fc
∴ae+cd=af+fc=ac