Question

已知a/b+c=b/c+a=c/a+b，求(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

Answer 1

设b+c/a=c+a/b=a+b/c=K 则b+c=aK¨¨¨¨¨(1) c+a=bK¨¨¨¨¨(2) a+b=cK¨¨¨¨¨(3) (1)+(2)+(3) （b+c）+（c+a）+（a+b）=K(a+b+c) 2（a+b+c)=K（a+b+c) K（a+b+c)-2（a+b+c)=0 （K-2)（a+b+c）=0 解得K=2或a+b+c=0 当K=2时，abc/(a+b)(b+c)(c+a)=abc／（2c×2a×2b）=1／8 当a+b+c=0时，a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b abc/(a+b)(b+c)(c+a)=abc/[(-c)×（-a)×(-b)]=-1 ∴原式有两个1／8或-1