怎样求函数的左右极限
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设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个左(右)邻域内有定义,记 $x$ 从左(右)趋近于 $x_0$,则:
左极限 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$:若当 $x$ 从 $x_0$ 左侧趋近于 $x_0$ 时,函数值 $f(x)$ 趋近于某个有限数 $A$,则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to x_0^-$ 时的左极限,记为 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$。
右极限 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$:若当 $x$ 从 $x_0$ 右侧趋近于 $x_0$ 时,函数值 $f(x)$ 趋近于某个有限数 $B$,则称 $B$ 为 $f(x)$ 当 $x\to x_0^+$ 时的右极限,记为 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=B$。
求解左右极限的方法:
直接代入:当 $x_0$ 为函数的定义域内的点时,可直接代入 $x_0$,求出函数在 $x_0$ 处的函数值作为左右极限。
区间逼近法:当 $x_0$ 为函数的间断点时,先用 $x_0$ 的左右两侧相邻点的函数值来逼近左右极限。
奇偶性结论法:当函数具有奇偶性时,可以根据奇偶性结论来判断左右极限是否存在。
夹逼定理:当函数在 $x_0$ 的某个左(右)邻域内存在两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$,满足 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$,且 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=L$,则 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$。
左极限 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$:若当 $x$ 从 $x_0$ 左侧趋近于 $x_0$ 时,函数值 $f(x)$ 趋近于某个有限数 $A$,则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to x_0^-$ 时的左极限,记为 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$。
右极限 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$:若当 $x$ 从 $x_0$ 右侧趋近于 $x_0$ 时,函数值 $f(x)$ 趋近于某个有限数 $B$,则称 $B$ 为 $f(x)$ 当 $x\to x_0^+$ 时的右极限,记为 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=B$。
求解左右极限的方法:
直接代入:当 $x_0$ 为函数的定义域内的点时,可直接代入 $x_0$,求出函数在 $x_0$ 处的函数值作为左右极限。
区间逼近法:当 $x_0$ 为函数的间断点时,先用 $x_0$ 的左右两侧相邻点的函数值来逼近左右极限。
奇偶性结论法:当函数具有奇偶性时,可以根据奇偶性结论来判断左右极限是否存在。
夹逼定理:当函数在 $x_0$ 的某个左(右)邻域内存在两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$,满足 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$,且 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=L$,则 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$。
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