Question

如何证明cosx=1-x^2/2+o(x^2) （x~0)？

Answer 1

要说明这个问题，要用到泰勒级数，泰勒展开的知识。

泰勒公式表明，任何一个无穷多阶可导的函数，都可以展开成幂级数：

在x0=0时展开式为：

因此，在x=0处，cosx可以展开为

然而写无穷多项是不现实的事情，为了解决这个问题，有余项的概念，这样泰勒公式只用写项，后面更高阶的项用余项等价表示。

泰勒公式有两种余项——拉格朗日余项和佩亚诺余项，题主给出的形式就是带佩亚诺余项的泰勒公式：

因此，cosx=1-x^2/2+o(x^2)，实际处理问题时，可以根据问题需要决定到底写几项。

Answer 2

y = cosx， y' = -sinx， y'' = -cosx, y''' = sinx, y^(-4) = cosx, ......
y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = -1, y'''(0) = 0, y^(4) = 1, ......
y = 1 + (-1)x^2/2! + x^4/4! + ...... = 1 - x^2/2 + o*x^2)