Question

解不等式x/(√1+x²)+(1-x²)/(1+x²)>0

Answer 1

不等式x/(√1+x²)+(1-x²)/(1+x²)>0
分母1+x²恒为正值,
∴原不等式即
x√(x²+1)+1-x²>0
∴x√(x²+1)>x²-1
当x=1时，左边>0,右边=0不等式成立
当x>1时，左边x√(x²+1)>x√x²=x²>x²-1=右边
不等式成立
当0<x<1时，左边>0右边<0不等式成立
当x=0时，左边=0，右边=-1，不等式成立
当-1<x<0时，原不等式两边同时除以x
(不等号变号）
即
√(x²+1)<x-1/x
x²+1<x²-2+1/x²
x²<1/3
得到-√3/3<x<0
当x=-1时，原不等式即-√2>0不成立
当x<-1时，左边为负值，右边为正值，不成立
综上，原不等式的解集为{x|x>-√3/3}