Question

证明函数f(x)=x+1/x在(-∞,+∞)上是增函数

如题

Answer 1

LZ的题目有问题~
因为 f(x)=x+1/x
X作为分母 分母不能为0
所以定义域应该是 (-∞,0)并(0,+∞)
解：① 设 X1 ＜ X2 ＜ 0
则f(X1)=X1+1/X1
f(X2)=X2+1/X2
f(X1)-f(X2)=【X1+1/X1】-【X2+1/X2】
化简后得X2-X1/X1*X2
因为X1 ＜ X2 ＜ 0
所以X2-X1 ＞0
X1*X2 ＞0
所以f(X1)-f(X2)＞0
所以原函数在(-∞,0)上为 单调减函数

同理得 原函数在(0,+∞)上为 单调减函数

方法2
f(x)=x+1/x=1+1/x （分离常数）
知道 1/x在(-∞,0)上为 单调减函数 (0,+∞)上为 单调减函数
而f(x)=x+1/x=1+1/x 由 g(x)=1/x向上平移一个单位长度
不影响单调性于单调区间
所以f(x)=x+1/x=1+1/x 与 g(x)=1/x
单调区间于单调性相同
即在(-∞,0)上为 单调减函数 (0,+∞)上为 单调减函数

Answer 2

有问题，定义域不是连续的（x≠0）

事实上，该函数在（-无穷，1），（1，+无穷）上是单调增的，
在（-1，0），（0，1）上是单调减的。
整个函数图像关于原点对称，是奇函数