Question

数列收敛和有界的关系是什么？

Answer 1

1、数列收敛与存在极限的关系：

数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的。

2、数列收敛与有界性的关系：

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立。

如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

条件收敛

它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛。

则称级数Σun绝对收敛。

如果级数Σun收敛。

而Σ∣un∣发散。

则称级数Σun条件收敛。

Answer 2

数列收敛一定有界，有界的数列不一定收敛。如数列：1,2,1,2……2有界，但其不收敛。收敛是指无限接近于某个数，而该数列并不接近某一个数。又如数列：1,1.2,1.3……1.9，1.99,1.999……该数列有界并接近于2所以有界的数列不一定收敛，而收敛的数列一定有界。