Question

dx/[(x^2+1)(x^2+x)]不定积分？

求详细完整透彻过程，谢谢大佬

Answer 1

朋友，您好！此题非常简单，主要就是待定系数法做，详细过程如图rt所示，希望能帮到你解决问题

追问

是这样做的吗？

追答

不是1，是设的常数项Q

另外，前面第一个式子写错了，不应该是Ax^2+B，应该设为Ax^2+Bx+C，始终保持分子比分母低一阶，一次写下来

追问

这样？

追答

对

额，式子对了，你通分错了

追问

哪里出错了 可以写写吗

Answer 2

直接拆开来算即可，详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

常用公式

Answer 3

∫dx/[(x²+1)(x²+x)]=∫dx/[x(x+1)(x²+1)]=∫[(A/x)+B/(x+1)+(Cx+D)/(x²+1)]dx；
拆项：
1/[x(x+1)(x²+1)]=(A/x)+B/(x+1)+(Cx+D)/(x²+1)

通分：
=[A(x+1)(x²+1)+Bx(x²+1)+x(x+1)(Cx+D)]/[x(x+1)(x²+1)]
合并同类项：
=[(A+B+C)x³+(A+D+C)x²+(A+B+D)x+A]/[x(x+1)(x²+1)]
两边对应项的系数应相等，于是得：
A+B+C=0........①; A+D+C=0.........②; A+B+D=0..........③; A=1..........④
四式联立，不难求得：A=1，B=C=D=-1/2;
故原式=∫[(1/x)-1/2(x+1)-(x+1)/2(x²+1)]dx
=ln∣x∣-(1/2)ln∣x+1∣-(1/2)∫[x/(x²+1)]dx-(1/2)∫[1/(x²+1)]dx
=ln∣x∣-(1/2)ln∣x+1∣-(1/4)ln(x²+1)-(1/2)arctanx+C;

Answer 4

分享一种解法。设1/[(x²+x)(1+x²)=a/x+b/(1+x)+(cx+d)/(1+x²)。两边同乘以x、令x=0，得a=1；两边同乘以x+1、令x=-1，得b=-1/2；两边同乘以1+x²、令x=i，得ci+d=1/[i(1+i)]=(-1/2)(1+i)，c=d=-1/2。
易得，原式=ln丨x丨-(1/2)ln丨x+1丨-(1/4)ln(1+x²)-(1/2)arctanx+C。

Answer 5