Question

求lim n→∞ （ntan1/n)^(n^2)的极限

求详细解答谢谢了

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

lim<n→∞>[ntan(1/n)]^(n^2)
令 x = 1/n, 原极限化为
lim<x→0+>(tanx/x)^(1/x^2) = lim<x→0+>e^(1/x^2)ln(tanx/x)
= e^lim<x→0+>ln(tanx/x)/x^2 (0/0)
= e^lim<x→0+>(x/tanx){[x(secx)^2-tanx]/x^2}/(2x)
= e^lim<x→0+>[x(secx)^2-tanx]/(2x^2tanx)
= e^lim<x→0+>[x(secx)^2-tanx]/(2x^3)
= e^lim<x→0+>[x+x(tanx)^2-tanx]/(2x^3)
= e^lim<x→0+>[x+x(x+x^3/3)^2-(x+x^3/3)+o(x^3)]/(2x^3)
= e^lim<x→0+>(2x^3/3)/(2x^3) = e^(1/3)

Answer 3

n->无穷
tan(1/n) = 1/n +(1/3)(1/n^3) +o(1/n^3)
n.tan(1/n) = 1 +(1/3)(1/n^2) +o(1/n^2)
lim(n->无穷) [n.tan(1/n)]^(n^2)
=lim(n->无穷) [ 1 +(1/3)(1/n^2) ]^(n^2)
=e^(1/3)