Question

如何证明收敛数列的任意子数列也收敛,且极限相同?

Answer 1

如下：

设有一个收敛的数列｛a_n｝以及它的一个子数列｛a_(b_n)｝，于是首先我们知道有对于任意的n总有b_n>=n。

回忆一下上面的定义，我们需要证的是：对于任意给定的ε>0，存在正整数N满足当n>N时总有|a_(b_n)-a|<ε。

因为｛a_n｝就是收敛的，所以说存在一个正整数N'满足对于上面那个给定的ε来说，只要n>N'，总有|a_n-a|<ε。

而对于任意一个大于N'的n来说，它所对应的b_n自然也大于N',所以|a_(b_n)-a|<ε成立。

于是，对于给定的ε，只要取N=N'(｛a_n｝收敛保证了N'存在)，那么便有对于任意n>N总有|a_(b_n)-a|<ε。也就是说数列｛a_(b_n)｝收敛于a。

收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

定理：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。