Question

高等代数理论基础42：子空间的交与和

Answer 1

定理：若 是线性空间V的两个子空间,则它们的交 也是V的子空间

证明：

(交换律)

(结合律)

注： 也是子空间

定义：设 是线性空间V的子空间,由所有能表成 的向量组成的子集合,称为 的和,记作

定理：若 是V的子空间,则它们的和 也是V的子空间

证明：

(交换律)

(结合律)

注： ,是由所有表成 的向量组成的子空间

1.设 是子空间,则 ,

2.设 是子空间,则

1.三维几何空间V中,用 表示一条通过原点的直线, 表示一张通过原点且与 垂直的平面,则 ,

2.线性空间V中,

定理：若 是线性空间V的两个子空间,则

证明：

注：和的维数常比维数的和小

例：三维几何空间中,两张通过原点的不同平面之和是整个三维空间,维数之和是4,交是一维的直线

推论：若n维线性空间V中两个子空间 的维数之和大于n,则 必含非零公共向量

证明：