Question

幂级数的收敛半径是什么？

Answer 1

幂级数的收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。

具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的，对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

幂级数性质：

1、幂级数是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。幂级数展开大多数都是要往常见的展开式上去靠、去配凑。

2、原函数展开点附近，幂级数趋近于原函数。所以当x1点展开的幂级数去考虑x2处的值，可能会有发散的情况，想要它收敛只能用x2附近的幂级数去逼近，总之，在某点的展开式是有收敛域的，在收敛域内，该点的展开式趋近于该点附近的原函数。

3、展开式套用了1/（1-x）的幂级数展开，这个级数的收敛域是（-1，1），对应到式子里就是-x^2属于（-1，1），解出来x的范围不变。最后的收敛域的两个端点需要单独判断敛散性。x=1，原函数的无定义点，必定不收敛。