Question

1/(1+x^4)的不定积分是什么?

Answer 1

∫ dx/[x(1+x⁴)]：

令u=x⁴,du=4x³ dx。

原式= ∫ 1/[x*(1+u)] * du/(4x³)。

= (1/4)∫ 1/[u(u+1)] du。

= (1/4)∫ (u+1-u)/[u(u+1)] du。

= (1/4)∫ [1/u - 1/(u+1)] du。

= (1/4)(ln|u| - ln|u+1|) + C。

= (1/4)ln|x^4| - (1/4)ln|x^4+1| + C。

= ln|x| - (1/4)ln(x^4+1) + C。

分部积分法：

不定积分设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu。

两边积分，得分部积分公式。

∫udv=uv-∫vdu。⑴。

称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。

一般来说，u,v选取的原则是：

1、积分容易者选为v。

 2、求导简单者选为u。

例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x。

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分。

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。