数论包括哪些内容？
包括：初等数论、解析数论、代数数论、几何数论、计算数论、超越数论、组合数论、算术代数几何。
1、初等数论
初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。
初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）、高斯的二次互反律， 勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。
2、解析数论
借助微积分及复分析（即复变函数）来研究关于整数的问题，主要又可以分为乘性数论与加性数论两类。乘性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨素数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。
解析数论的创立当归功于黎曼。他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的素数分布问题存在深刻联系。确切的说， 黎曼ζ函数的非平凡零点的分布情况决定了素数的很多性质。黎曼猜测， 那些零点都落在复平面上实部为1/2的直线上。这就是著名的黎曼假设—千禧年大奖难题之一。值得注意的是， 欧拉实际上在处理素数无限问题时也用到了解析方法。
解析数论方法除了圆法、筛法等等之外， 也包括和椭圆曲线相关的模形式理论等等。此后又发展到自守形式理论，从而和表示论联系起来。
3、代数数论
代数数论，将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代数数域。一个主要课题就是关于代数整数的研究，目标是为了更一般地解决不定方程求解的问题。其中一个主要的历史动力来自于寻找费马大定理的证明。
代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类整环的性质， 比如在给定整环上是否存在算术基本定理等等。
这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密， 它实际上也构成了交换代数理论的一部分。它也包括了其他深刻内容，比如表示论、p-adic理论等等。
4、几何数论
主要在于通过几何观点研究整数（在此即格点， 也称整点）的分布情形。最著名的定理为Minkowski定理。这门理论也是有闵科夫斯基所创。对于研究二次型理论有着重要作用。
5、计算数论
借助电脑的算法帮助研究数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的课题。
|
广告 您可能关注的内容 |
