Question

为什么2+i与3+i不能比较大小，3>2，i都等于√（-1）。（这个定理好奇怪）？

Answer 1

这个是复数的概念，不是一个单纯的数，而是表示的是一个物理量。这个物理量既有大小（长短）、还有方向，所以不能比较大小。

复数一般用Z=a+ib表示，i表示虚部单位，是英文“imagine”——想象的意思，a表示的是实部，一般用Re表示，Re是英文Real缩写，表示实数。一般：

Re（Z）=a，Im（Z）=b。

对于：Z1=2+i，Z2=3+i，用图形表示如下：

Answer 2

虚数是不能比较大小的。
解释一：（比较形象）
虚数是利用虚轴和实轴来表示的，
类似在平面坐标系内的点，只有位置，没有大小。
就象坐在电影院里的两个人，不存在座位上的大小关系。

解释二：（比较民主）
数学上面的大小，其实是人为规定的一个定义，比如我们规定：在数轴上，右边的比左边的大。这样1就比－1大。反过来定义，在数学上也没什么问题，不过和实际生活中的使用，就乱掉了。所以一维情况，刚好是数学上和实际生活符合了，定义清晰明了，所以大家都同意用这个定义了。
复数的大小，我们也可以定义一下，先比较实部，实部大的那个复数就大，如果实部一样大，那就比较虚部。如果这样定义，那么就是 3+2i< 4+i了。可是有的人不愿意了，他重新定义：先比较虚部再比较实部，那么就是3+2i>4+i了。这两种定义哪个好？按理说是一样好，取舍哪个都没有十分的道理。更重要的是，人们发现其实定义不定义也没什么关系，所以干脆就不定义了。

解释三：（反证法推理）
能不能比较大小是个思考过程。。。首先，i^2=-1看能不能从这发现反证的方法。。。
反证：
A
假设复数能比较大小
那么i和0也可以比较大小
B
那么设i>0；
那么-i<0
1-i<1
(1-i)*i<1*i(因为i>0,所以不变号)
1+i<i
1<0因此i>0不成立
C
如果i<0
同理:-i>0
1-i>1
(1-i)*i<1*i（因为i<0，所以变号)
1+i<i
1<0因此i<0不成立
D
显然，i不等于0
所以综合ABCD，得出结论：i和1无法比较

既然i和1无法比较，那么说明并非所有虚数都可以比较——就是所谓的虚数不能比较大小。

Answer 3

这两个数都是复数，而复数是不能比较大小的，复数在虚数轴上。

Answer 4

实数能比较大小。
虚数实际为向量， 不在同一方向， 不能比较大小， 只能是其模（即长度）比较大小。

Answer 5

复数的几何表示是二位的，就像很多人都在操场上，你怎么对这些人进行排序呢？只有这些人排成一行也就是说想象成在一根线上面才有谁在企业谁在后总之排序，它应该是一个一维的。