Question

abc为正数,且a+b+c＝1,求证（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）≥64

Answer 1

证明本题要用到均值不等式（正数的算术平均值>=它的几何平均值）：
（a+b+c+d）/4>=(abcd)^(1/4)
（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）
=((a+1)/a) ((b+1)/b) ((c+1)/c)
=(a+1)(b+1)(c+1)/(abc)
=(a+ a+b+c)(b+ a+b+c)(c+
a+b+c)/(abc)
=(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)
= 64((a+a+b+c)/4)((b+a+b+c)/4)((c+a+b+c)/4)
>=64 (aabc)^(1/4) (babc)^(1/4)
(cabc)^(1/4)
=64(abc*abc*abc*abc)^(1/4)
=64
所以：（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）≥64
很高兴为您解答,希望对你有所帮助!
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