Question

几道因式分解题

初1的
4X³-31X+15
X²-2X-2Y²+4Y-XY
X的4次方+2X³-9X²-2X+8
X的4次方+2X³+3X²+2X+1
这些题目都是因式分解，我想应该是分解成2个整式的积，但问题是怎么确定第1个整式啊，谁聪明点帮我做做，我不想要答案，主要是过程，题目都差不多，只要解释1道题的过程就行了，怎么去确定第1个整式，然后是不是用待定系数法做？

Answer 1

教你一种方法，你只管用，证明要等到大学一年级才行。
比如分解4X³-31X+15，只需要验证如下几个一次多项式是不是它的因式就可以了：
(x-1),(x+1),(2x-1),(2x+1),(4x-1),(4x+1),
(x-3),(x+3),(2x-3),(2x+3),(4x-3),(4x+3),
(x-5),(x+5),(2x-5),(2x+5),(4x-5),(4x+5),
(x-15),(x+15),(2x-15),(2x+15),(4x-15),(4x+15),
看起来很多，其实并不复杂，一般验证的时候，比如要
验证(2x-1)是不是因式，只要将x=1/2代入4X³-31X+15，如果等于0，(2x-1)就是一个因式。要验证(2x+1)是不是因式，只要将x=-1/2代入就可以了。
确实将x=1/2代入4X³-31X+15，等于0，因此4X³-31X+15有因式(2x-1)。
注意上面最后一行的一次多项式一般不会是所求的因式。

一般的情况下，假定要分解aX³+bX^2+cX+d，那么
假定a的所有因子为a1,a2,..,ak,
d的所有因子为d1,d2,..,dm,
那么如果这个多项式能在有理数范围内分解，那么它就一定能被
(aiX-dj)所整除，也就是X=dj/ai代入aX³+bX^2+cX+d中一定会等于0.

对于有四次方的因式，要小心只能分解为两个二次多项式相乘的情况，此时上面的方法就不实用了。

Answer 2

4x³-31x+15
=4x³-36x+5x+15
=4x(x²-9)+5(x+3)
=4x(x+3)(x-3)+5(x+3)
=(x+3)(4x²-12x+5)
=(x+3)(2x-5)(2x-1).

x^2-2x-2y^2+4y-xy
=(x^2-xy-2y^2)-(2x-4y)
=(x-2y)(x+y)-2(x-2y)
=(x-2y)(x+y-2)

x^4+2x^3-9x^2-2x+8
=x^4+2x^3-x^2-2x+8-8x^2
=x^2(x^2-1)+2x(x^2-1)-8(x^2-1)
=(x^-1)(x^2+2x-8)
=(x+1)(x-1)(x+4)(x-2)

x^4+2x^3+3x^2+2x+1
=x^4+2x^2+1+2x^3+x^2+2x
=(x^2+1)^2+x^3+x+x^3+x^2+x
=(x^2+1)^2+x(x^2+1)+x(x^2+x+1)
=(x^2+1)(x^2+x+1)+x(x^2+x+1)
=(x^2+1+x)(x^2+1+x)
=(x^2+1+x)^2