Question

欧拉公式、复数与拉普拉斯变换

Answer 1

e是自然对数的底，i是虚数单位。它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系

欧拉公式的证明：利用了无穷级数

（准确来说是麦克劳林级数（即泰勒级数在x=0处的展开），泰勒级数的证明可参考资料【1】，用了归纳法加上余项的极限来证明，此处简单的复习一下微积分的知识）

（这里再插入一下，一个函数可以多项式展开，可以三角函数展开，那么是不是也可以指数函数展开，那么这些展开函数作为基底函数，基底函数是有要求的吗？小波变换是不是就是选择不同的基底展开，从而跳出了短时傅里叶变换的束缚？）

在 的展开式中，白x换成

特别的，当x = pi 时，有

它把5个最基本的数学常数简洁地连系起来，非常的简洁、美妙。

复数最直观的理解就是旋转.

更重要的意义在于复数运算保留了二维信息【2】。

【与（x,y）表示不同的是，x，y仍然是基于同一个度量的，x，y值的区别是通过给它们的单位不同来赋予的

如果直接让值就能够表征不同的维度，就是虚数的一种表现了】

假如我让你计算3+5，虽然你可以轻松的计算出8，但是如果让你分解8你会有无数种分解的方法，3和5原始在各自维度上的信息被覆盖了。

但是计算3+5i的话，你依然可以分解出实部和虚部，就像上图那样。

基于以上两个理由，用复数来描述电场与磁场简直完美到爆棚！

我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息，又满足了电场与磁场90度垂直的要求。另外，一旦我们需要让任何一个场旋转90度，只要乘一个“i”就可以了.【2】

当然，更深入一些的解释是【3】：

引入复数的一个很"物理"的原因是因为对称性。复数本身可以看成R上的2维线性空间,在复数乘法下自然构成了一个同构于SO(2)的群. 

描述 对称性的对称群在复数的代数结构上表示比较方便 . 所以, 复数域这个代数结构（它的对称性）在物理表示中得到了应用。

其实, 还真的有引入比复数域更复杂的代数结构来研究比SO(2)更复杂的对称性问题的例子, 比如著名的四元数, 可以用来研究三维旋转问题(SO(3)群的表示). 但是, 这些比复数域更复杂的代数结构一般来说其性质远没有复数域 那么好, 比如四元数虽然是个除环, 但是不是域, 乘法不可交换.

这就说明了为什么物理中要引入复数域, 并且"止步"于复数域. 复数域上一些基本的对称群有自然的表示, 并且复数域的代数性质和分析性质都非常非常好, 所以物理学很自然地需要这个代数结构.

（原文的公式推导部分我看的也很懵，不过整体意思还是看懂了，关键词：对称性，代数结构。应该和描述对称性的群有关系，还有数域的概念）

（#Todo:这张图与拉普拉斯变换里的f(t)，F(s)有关系吗？）

1）从傅里叶变换说起

傅里叶变换能帮我们解决很多问题，一经问世后便受到广大工程师们的喜爱，因为它给人们提供了一扇不同的窗户来观察世界，从这个窗户来看，很多事情往往变得简单多了。但是，别忘了， 傅里叶变换有一个很大局限性，那就是信号必须满足狄利赫里条件才行

狄利赫里条件为：

2）拉普拉斯变换的提出

傅里叶变换的严格条件，特别是那个绝对可积的条件，一下子就拦截掉了一大批函数。比如函数 f = t^2 就无法进行傅里叶变换。这点难度当然拿不到聪明的数学家们，他们想到了一个绝佳的主意：把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于 ∞ 时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。

3）从几何图形上直观的表现

总结一下：总结一下： 傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上；拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量，因此更灵活，适用范围更广。

1）拉普拉斯变换的函数理解

原因如下：

2）拉普拉斯变换的具体计算

常用计算可以查表~

【1】https://blog.csdn.net/weixin_40100502/article/details/80531027    泰勒公式的详细推导

【2】https://www.zhihu.com/question/23234701    复数的物理意义是什么？ Heinrich的回答

【3】https://www.zhihu.com/question/23234701    复数的物理意义是什么？  Octolet 的回答（进阶版，从对称性角度考虑）

【4】https://zhuanlan.zhihu.com/p/40783304    从另一个角度看拉普拉斯变换

【5】https://zhuanlan.zhihu.com/p/23617272    【自动控制原理】1.传递函数

【6】https://wenku.baidu.com/view/6c522e81360cba1aa811da7d.html?from=search    复变函数-laplace变换（具体的简单的函数计算推导）