Question

高等代数理论基础75：代数基本定理的证明

Answer 1

引理：设f(x)是次数 的复系数多项式,则

1. ,当 时有

2. 在复平面上有最小值

证明：

1.设

令

则

当 时,

即

故

若

则

则当 时有

2. ,令

有 ,当 时有

再取 平面上闭区域

设复多项式

其中 及 都为 的二元实系数多项式

是 的连续函数

在闭区域 上有极小值

即 在 中有极小值

即有 ,当 时有

取 及 中较小的一个

即复平面上 的最小值

代数基本定理：每个次数 的复系数多项式必有复数根

证明：

设 为一个复系数多项式​

其中

在复平面上有最小值

下证

若不然,设

将 表成 的方幂和

其中

设

即

记

则

取

即 为负实数

取 充分小,

则

若 ,则 无第二项

若 ,则

由 充分小

与 是最小值矛盾

即 是 的一个复数根