Question

什么是特征向量?

Answer 1

问题一：什么是特征向量？特征值？ 25分 特征值就是使得λE-A的行列式为0的λ值，而特征向量是对应某一特征值来说满足值，(λE-A)a=0的解向量
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问题二：特征值和特征向量的几何意义是什么？ 特征向量的几何意义
特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想 一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能 是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标 量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族， 另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时 先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！
比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]，其中分号表示换行，显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上标'表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显 然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]'(a不为0)，还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'(b不为0)也是其特征向量，去求求矩阵[1 0;0 -1]的特征向量就知道对不对了!
zz quentan blog

问题三：什么是左右特征向量 5分 A=[2 4 6;8 10 12;16 20 10]
A =
2 4 6
8 10 12
16 20 10
>> [x,y]=eig(A)
%x为右特征向量，s为左特征向量，v为规格化的左特征向量
x =
-0.25057066610473 -0.75728611172496 -0.37026452747123
-0.57316596105677 0.64832528567130 -0.41252239696521
-0.78018915807239 -0.07868970039160 0.83230370160091
y =
29.83166481964299 0 0
0 -0.80100599693287 0
阀 0 0 -7.03065882271013
>> [s,t]=eig(A')
s =
-0.50784386176239 -0.84327293428122 -0.55495915239562
-0.66034030426232 0.52505980762843 -0.57529769964573
-0.55321360669909 -0.11490411969091 0.60087677268694
t =
29.83166481964298 0 0
0 -0.80100599693287 0
0 0 -7.03065882271013
>> v=inv(x)'
v =
-0.54178875996860 -0.85347174923880 -0.58855577812648
-0.70447824920440 0.53141005035764 -0.61012559898821
-0.59019107355381 -0.11629380718941 0.63725320139379
>> v(:,1)'*x(:,1)
ans =
1

问题四：什么是左右特征向量？ 对于矩阵A，若AX = rX存在特征向量R，则称R为右特征向量；YA=rY存在特征向量L，则称L为左特征向量。
[211；020；0-11]
设A的特征值为λ
则|A-λE|=
2-λ 1 1
0 2-λ 0
0 -1 1-λ
=(2-λ)(2-λ)(1-λ)=0
所以λ=1或2
当λ=1
A-E=
1 1 1
0 1 0
0 -1 0 第1行减去第2行，第3行加上第2行
～
1 0 1
0 1 0
0 0 0
得到特征向量为(1,0,-1)^T
当λ=2
A-2E=
0 1 1
0 0 0
0 -1 -1 第3行加上第1行
～
0 1 1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量为(0,1,-1)^T和(1,0,0)^T

问题五：向量，特征向量，特征值是什么关系 特征向量是一个线性变换或方阵某个特征值对应的特征向量，其满足的条件是AX=λX

问题六：模式识别中的特征向量和矩阵的特征向量有什么关系 昨天就看到这个问题，到现在竟然没有人回答，那我就稍微解答一下，具体深入理解请自行分析；
特征向量是个什么东西？学过矩阵论的人都知道，一个可逆的矩阵可以分解为特征值和特征向量的乘积，即AV=lambaV,其中V是特征向量矩阵；这个的好处是可以把一个矩阵换基；即将一个矩阵基底转换为以另一组以特征向量为基的矩阵；好处呢，显而易见，可以抛弃太小的特征值对应的基，他没意义嘛，从而起到降维的效果，这就是PCA降维，可以百度一下；
那么模式识别讲的特征向量是什么呢，这个是一个截然不同的概念，模式识别重在分类，分类用什么数据呢，当然是特征向量，这个特征指的是，你分类物体的特征，如人脸，指纹，那你就可以从这些图片上面提取；那提取的这些数据就构成了你物体的一个特征，这就是特征向量；当然，可能你提取的特征向量太多维，那么这个时候，为了计算简便，你就需要降维，就可以通过上面所讲的PCA算法；通过降维后的数据进行计算。
所以，这是两种截然不同的概念