Question

导数是什么？

Answer 1

求导定义：函数y=f(x)的导数的原始定义为
y'=f'(x)=lim(Δx→0)|(Δy/Δx)=lim(Δx→0)|Δy/lim(Δx→0)|Δx=dy/dx，
其中Δy=f(x+Δx)-f(x)；

实数C的导数(C)'=0

导数的四则运算法则：u=u(x)，v=v(x)；
加减法原则：(u±v)'=u'±v'
证明：(u±v)'=lim(Δx→0)|(Δ(u±v)/Δx)=d(u±v)/dx，
其中Δ(u±v)=u(x+Δx)±v(x+Δx)-u(x)±v(x)
=[u(x+Δx)-u(x)]±[v(x+Δx)-v(x)]
=Δu±Δv，
则(u±v)'=lim(Δx→0)|(Δ(u±v)/Δx)
=lim(Δx→0)|(Δu/Δx)±lim(Δx→0)|(Δv/Δx)
=(du/dx)±(dv/dx)
=u'±v'

乘法法则(uv)'=u'v+uv'
证明：则(uv)'=lim(Δx→0)|(Δ(uv)/Δx)=d(uv)/dx，
其中Δ(uv)=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)
=[u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)]+[u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)]
=[u(x+Δx)-u(x)]v(x+Δx)]+u(x)[v(x+Δx)-v(x)]
=Δu×v(x+Δx)]+u(x)×Δv
则(uv)'=lim(Δx→0)|[(Δu×v(x+Δx)]+u(x)×Δv)/Δx]
=lim(Δx→0)|[Δu×v(x+Δx)/Δx]+lim(Δx→0)|[u(x)×Δv/Δx]
=lim(Δx→0)|[Δu×v(x+Δx)/Δx]×lim(Δx→0)|v(x+Δx)+lim(Δx→0)|u(x)×lim(Δx→0)|[u(x)Δv/Δx]
=(du/dx)vx+u(x)(dv/dx)
=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

除法法则：(u/v)'=(u'v-uv')/v²
证明：与乘法法则的证法类似，此处略！

复合函数的求导法则：y=f(u)=f(u(x))，u=u(x)，则y'=f'(u(x))×u'(x)
简证：y=f(u)=f(u(x))，u=u(x)，
则y'=lim(Δx→0)|(Δy/Δx)
=lim(Δx→0)|[(Δy/Δu)×(Δu/Δx)]
=lim(Δx→0)|(Δy/Δu)×lim(Δx→0)|(Δu/Δx)
=(dy/du)×(du/dx)
=f'(u(x))×u'(x)

e^y+xy-e=0——原隐函数，其中y=f(x)
两边求导得(e^y+xy-e)'=0'
左边先由求导的加减法原则可知(e^y+xy-e)'=(e^y)'+(xy)'-(e)'，
由常数的导数为0可知原隐函数两边求导后为：(e^y)'+(xy)'=0
由复合函数的导数可知(e^y)'=e^y×y'，其中(e^x)'=e^x；
由求导的乘法法则可知(xy)'=y+xy'，
即原隐函数的导数为e^y×y'+y+xy'=0（其中y'=dy/dx）

接下来求函数y的过程就是传说中的求解微分方程，
这个求解通常都比较难，而且往往是非常难！