怎样证明lim(x→0)/x^2;
[(tanx)/x]^(1/x²)
= e^ln[(tanx)/x]/x²
= e^[ln(tanx) - lnx]/x²
lim(x→0) [ln(tanx) - lnx]/x²,0/0型,洛必达法则
= lim(x→0) (sec²x/tanx - 1/x)/(2x)
= lim(x→0) [1/(sinxcosx) - 1/x]/(2x)
= lim(x→0) (x - sinxcosx)/(2x²sinxcosx)
= lim(x→0) [x - (1/2)sin2x]/(x²sin2x),0/0型,洛必达法则
= lim(x→0) (1 - cos2x)/(2x²cos2x + 2xsin2x)
= lim(x→0) [1 - (1 - 2sin²x)]/(2x²cos2x + 2xsin2x)
= lim(x→0) 2sin²x/(2x²cos2x + 2xsin2x)
= lim(x→0) x²/(x²cos2x + xsin2x),sin²x x²当x→0
= lim(x→0) x/(xcos2x + sin2x)
= lim(x→0) 1/[(xcos2x + sin2x)/x]
= lim(x→0) 1/[cos2x + (sin2x)/(2x) · 2]
= 1/(1 + 2)
= 1/3
∴lim(x→0) [(tanx)/x]^(1/x²) = e^(1/3)
扩展资料
极限的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
7、利用两个重要极限公式求极限。
8、利用左、右极限求极限（常是针对求在一个间断点处的极限值）。
9、洛必达法则求极限。
