Question

[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx,x趋于0时的极限怎么求?（答案是-e/2)

Answer 1

正确的答案应该是：
（1+x)^1/x取对数,泰勒展开ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2),所以ln(1+x)/x=1-x/2+o(x);
同理,ln(1+2x)/2x=1-x+o(x).
所以lim[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx
=lime×{e^(-x/2+o(x))- e^(-x+o(x))}/x
=lime×{[e^(-x/2+o(x))-1]/x +[1- e^(-x+o(x))]/x}
=lime×{[ -x/2+o(x)]/x -[-x+o(x))]/x}
= e×{ -1/2+1 }=e/2
(因为（1+1/n）^n是递增数列,所以（1+x)^1/x是递减函数,所以原答案是错误的)