Question

已知函数f（x）=alnx+x 2 （a为实常数），e为自然对数的底数．？

Answer 1

（1） f′(x)=
2 x 2 +a
x (x＞0) ，当[1，e]，2x 2 +a∈[a+2，a+2e 2 ]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）] min =f（1）=1．
②若-2e 2 ＜a＜-2，当 x=

-a
2 时，f′（x）=0；当 1≤x＜

-a
2 时，f′（x）＜0，此时f（x）
是减函数；当

-a
2 ＜x≤e 时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故 [f(x)] min =f(

-a
2 ) =
a
2 ln(-
a
2 )-
a
2 ．
③若a≤-2e 2 ，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e 2 ，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）] min =f（e）=a+e 2 ．
综上可知， [f(x)] min =

1(a≥-2)

a
2 ln(-
a
2 )-
a
2 (-2 e 2 ＜a＜-2)
a+ e 2 (a≤-2 e 2 )
（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x 2 -2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而 a≥
x 2 -2x
x-lnx (x∈[1，e])
令 g(x)=
x 2 -2x
x-lnx (x∈[1，e]) ，又 g′(x)=
(x-1)(x+2-2lnx)
(x-lnx) 2 ，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最大值为g（e）=
e 2 -2e
e-1 ，所以a的取值范围是[
e 2 -2e
e-1 ，+∞）．,2, 已知函数f（x）=alnx+x 2 （a为实常数），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．