Question

求证：数列11,111,1111,.的各项中没有完全平方数.

Answer 1

证明：要使得一个数的平方的个位数为1,只有两种情况,这个数的个位数为1或者9
那么我们设这个数为n=10k+1(k为任意自然数)
那么n^2=(10k+1)^2或者n^2=(10k+9)^2
n^2=(10k+1)^2=100k^2+20k+1
n^2=(10k+9)^2=100k^2+(180k+80)+1
=100(k^2+k)+80(k+1)+1
那么我们可以知道该数的平方数中十位数必然为偶数
而11,111,11111…………中十位数都是1,所以上述各项中没有完全平方数
证毕