Question

如何求解线性方程组

Answer 1

在数学中，线性方程是包含两个变量并且可以在图形上绘制为直线的方程。线性方程组是一组两个或多个线性方程，它们都包含相同的变量集。线性方程组可用于模拟现实世界的问题。可以使用多种不同的方法来解决它们：

绘图

替代

加法消除

减法消除

01

04 的

绘图

白种人老师在黑板上写字

埃里克·拉普托什摄影/混合图像/盖蒂图片社

绘图是求解线性方程组的最简单方法之一。您所要做的就是将每个方程绘制成一条线，然后找到这些线相交的点。

例如，考虑以下包含变量x和y的线性方程组：

y = x + 3

y = -1 x - 3

这些方程已经以 斜率截距形式编写，因此易于绘制。如果方程不是以斜率截距形式编写的，则需要先简化它们。一旦完成，求解x和y只需要几个简单的步骤：

1. 绘制两个方程。

2. 找到方程相交的点。在这种情况下，答案是 (-3, 0)。

3. 通过将值x = -3 和y = 0 代入原始方程 来验证您的答案是否正确。

y = x + 3

(0) = (-3) + 3

0 = 0

y = -1 x - 3

0 = -1(-3) - 3

0 = 3 - 3

0 = 0

02

04 的

替代

求解方程组的另一种方法是代换。使用这种方法，您实际上是在简化一个方程并将其合并到另一个方程中，这样您就可以消除其中一个未知变量。

考虑以下线性方程组：

3 x + y = 6

x = 18 -3 y

在第二个等式中，x已经是孤立的。如果不是这种情况，我们首先需要简化方程以隔离x。在第二个等式中分离出x后，我们可以将第一个等式中的x替换为来自第二个等式的等效值： (18 - 3y)。

1. 将第一个等式中的x替换为第二个等式中给定的x值。

3 ( 18 – 3y ) + y = 6

2. 简化等式的每一边。

54 – 9 y + y = 6

54 – 8 y = 6

3. 求解y的方程。

54 – 8年– 54 = 6 – 54

-8年= -48

-8年/-8 = -48/-8

y = 6

4. 代入y = 6 并求解x。

x = 18 -3 y

x = 18 -3(6)

x = 18 - 18

x = 0

5. 验证 (0,6) 是解。

x = 18 -3 y

0 = 18 – 3(6)

0 = 18 -18

0 = 0

03

04 的

加法消除

如果给定的线性方程的一侧是变量，另一侧是常数，则求解系统的最简单方法是消元法。

考虑以下线性方程组：

x + y = 180

3 x + 2 y = 414

1. 首先，把方程写在旁边，这样你就可以很容易地比较每个变量的系数。

2. 接下来，将第一个方程乘以 -3。

-3(x + y = 180)

3. 为什么我们乘以-3？将第一个方程添加到第二个方程以找出答案。

-3x + -3y = -540

+ 3x + 2y = 414

0 + -1y = -126

我们现在已经消除了变量x。

4. 求解变量 y：

y = 126

5. 代入y = 126 以找到x。

x + y = 180

x + 126 = 180

x = 54

6. 验证 (54, 126) 是正确答案。

3 x + 2 y = 414

3(54) + 2(126) = 414

414 = 414

04

04 的

减法消除

另一种通过消除求解的方法是减去而不是添加给定的线性方程。

考虑以下线性方程组：

y - 12 x = 3

y - 5 x = -4

1.我们可以减去它们来消除y ，而不是添加方程。

y - 12 x = 3

- ( y - 5 x = -4)

0 - 7 x = 7

2. 求解x。

-7 x = 7

x = -1

3. 代入x = -1 求解y。

y - 12 x = 3

y - 12(-1) = 3

y + 12 = 3

y = -9

4. 验证 (-1, -9) 是正确的解决方案。

(-9) - 5(-1) = -4

-9 + 5 = -4

-4 = -4