Question

摆线的拱形图形的面积怎么求？

Answer 1

由摆线x=a(t - sint)，y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 与横轴所围图形的面积为3π*a^2。
解：根据定积分求面积公式
，以x为积分变量，可得摆线的一拱与横轴所围图形的面积S为：
S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))
=∫a^2(1 -cost)^2dt
又由于摆线的一拱内，0≤t≤2π，所以面积为
S=∫(0，2π)a^2*(1 -cost)^2dt
=a^2*∫(0，2π)(1-2cost+(cost)^2)dt
=a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+a^2*∫(0，2π)(cost)^2dt
=a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+1/2*a^2*∫(0，2π)(1+cos2t)dt
=3/2*a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+1/2*a^2*∫(0，2π)cos2tdt
=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)
=3π*a^2

Answer 2

摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的拱形图形具有周期性，一个周期为2πa。一般，只要研究其一个周期（一拱）就可以了。

由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 与横轴所围图形的面积为3π*a^2。

解：根据定积分求面积公式，以x为积分变量，

可得摆线的一拱与横轴所围图形的面积S为，

S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))

=∫a^2(1 -cost)^2dt

又由于摆线的一拱内，0≤t≤2π，所以面积为

S=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt

=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt

=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt

=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)(1+cos2t)dt

=3/2*a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)cos2tdt

=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)

=3π*a^2

扩展资料：

有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。

由以上摆线生成的几何关系 若仍保持以上的内切滚动关系，将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动，则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动，这就是行星摆线传动机构的基本原理。

参考资料来源：百度百科-摆线