Question

这题二阶非齐次微分方程怎么解?

题目在图里，需要完整的解题步骤，谢谢

Answer 1

①对应的特征方程是：r^2+r-2=0
特征根是：r1=-2, r2=1
对应的齐次二阶微分方程的通解是：
y=C1e^(-2x)+C2e^x
②∵-1不是特征方程的根，∴ 设特根y*=Ce^(-x)
y*'=-Ce^(-x), y*''=Ce^(-x)
代入y''+y'-2y=3e^(-x):
Ce^(-x)-Ce^(-x)-2Ce^(-x)=3e^(-x)
-2C=3 C=-3/2
特根y*=-3/2*e^(-x)
③二阶非齐次微分方程的通解：
y=C1e^(-2x)+C2e^x-3/2*e^(-x)

追问

为什么Y星的一阶导有一个负号，e^u的导不应该还是e^u吗

追答

那是一个复合函数，最容易出错
e^(-x)是由y=e^u, u=-x复合而成，dy/dx=dy/du*du/dx
dy/du=e^u, du/dx=-1
∴ dy/dx=dy/du*du/dx=e^u*（-1）=-e^(-x)
明白了吧