x^2+y^2+z^2=4求x^3+y^3+z^3的极值

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匿名用户
2023-08-10
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要求函数x^3 + y^3 + z^3的极值,我们首先需要确定给定条件x^2 + y^2 + z^2 = 4。

通过拉格朗日乘数法,我们可以找到函数x^3 + y^3 + z^3在约束条件x^2 + y^2 + z^2 = 4下的极值。

首先,我们定义拉格朗日函数:

L(x, y, z, λ) = x^3 + y^3 + z^3 + λ(x^2 + y^2 + z^2 - 4)

然后,我们求解以下方程组:

∂L/∂x = 0
∂L/∂y = 0
∂L/∂z = 0
x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0

对L(x, y, z, λ)进行偏导数运算,得到:

∂L/∂x = 3x^2 + 2λx = 0
∂L/∂y = 3y^2 + 2λy = 0
∂L/∂z = 3z^2 + 2λz = 0
x^2 + y^2 + z^2 = 4

由上述方程组可以得到以下条件:

x(x^2 + 2λ) = 0
y(y^2 + 2λ) = 0
z(z^2 + 2λ) = 0

现在我们来分析各种情况:

  • 如果x = 0,那么y^2 + y^3 = 0,解得y = 0或y = -1。
    如果y = 0,那么z^2 + z^3 = 0,解得z = 0或z = -1。因此,当(x, y, z) = (0, 0, 0)或(0, -1, -1)时,函数取得极值。

  • 如果y = 0,那么x^2 + x^3 = 0,解得x = 0或x = -1。
    如果x = 0,那么z^2 + z^3 = 0,解得z = 0或z = -1。因此,当(x, y, z) = (0, 0, 0)或(-1, 0, -1)时,函数取得极值。

  • 如果z = 0,那么x^2 + x^3 = 0,解得x = 0或x = -1。
    如果x = 0,那么y^2 + y^3 = 0,解得y = 0或y = -1。因此,当(x, y, z) = (0, 0, 0)或(-1, -1, 0)时,函数取得极值。

  • 综上所述,函数x^3 + y^3 + z^3在约束条件x^2 + y^2 + z^2 = 4下的极值为:
    (0, 0, 0)和(-1, 0, -1)和(0, -1, -1)和(-1, -1, 0)。

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