矩阵A的特征值与特征向量如何求解?
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1、设x是矩阵A的特征向量,先计算Ax;
2、发现得出的向量是x的某个倍数;
3、计算出倍数,这个倍数就是要求的特征值。
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:
第一步:计算的特征多项式;
第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值;
第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系,则可求出属于特征值的全部特征向量。
扩展资料:
特征向量的性质:
特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间,还包括零向量,但要注意零向量本身不是特征向量。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。
例如,三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量,相应的特征值是1,相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间,因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。
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上海华然企业咨询
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本回答由上海华然企业咨询提供
2023-05-18
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设矩阵A为n阶方阵,特征值为λ,特征向量为v,则满足以下条件:Av = λv将上式改写为(A-λI)v=0,其中I为单位矩阵。因为v不为零向量,所以(A-λI)必须是奇异矩阵,即其行列式为0。因此,求解矩阵A的特征值需要解方程|A-λI|=0。解得矩阵A的特征值λ后,我们可以通过求解线性方程组(A-λI)v=0得到对应的特征向量v。具体来讲,我们可以将(A-λI)化为阶梯形矩阵或初等矩阵的形式,从而求解出v。注意,对于重复的特征值,需要重复地使用上述方法求解得到不同的特征向量。总结起来,求解矩阵A的特征值与特征向量的过程可以概括为以下几个步骤:1. 求解|A-λI|=0得到矩阵A的特征值λ;2. 对于每个特征值λ,解线性方程组(A-λI)v=0得到对应的特征向量v。
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