设随机变量X 服从几何分布，分布律为p{X＝K}＝P＊（1－P）的k-1次方
利用幂级数展开式(通过1/(1-x)=∑{k,0,∞}x^k，x∈(-1,1)容易证明)：
1/(1-x)²=1+2x+3x²+4x³+…=∑{k,0,∞}(k+1)*x^k，x∈(-1,1)
①注意到0<1-p<1
E(X)=∑{k,1,∞}k*p*(1-p)^(k-1)
=p*∑{k,0,∞}(k+1)*(1-p)^k
=p*1/[1-(1-p)]²
由①=1/p为计算D(X)，可先求出幂级数∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k，x∈(-1,1)的和函数
令S(x)=∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k，x∈(-1,1)，则
∫{0,x}S(x)dx=∫{0,x}[∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k]dx
=∑{k,0,∞}∫{0,x}
[(k+1)²*x^k]dx
=∑{k,0,∞}(k+1)*x^(k+1)
=x*∑{k,0,∞}(k+1)*x^k
=x*1/(1-x)²
由①S(x)=[x/(1-x)²]'=(1+x)/(1-x)³，即
∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k=(1+x)/(1-x)³，x∈(-1,1)
②∵E(X²)=∑{k,1,∞}k²*p*(1-p)^(k-1)
=p*∑{k,0,∞}(k+1)²*(1-p)^k
=p*[1+(1-p)]/[1-(1-p)]³
由②=(2-p)/p²
∴D(X)=E(X²)-[E(X)]²
=(2-p)/p²-1/p²
=(1-p)/p²
扩展资料：
随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。
这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。
参考资料来源：百度百科-随机变量
