Question

已知正三角形ABC内有一点P,且PA=1,PB=√2,PC=√3,求正三角形ABC的面积.

Answer 1

此题有两种解法.
解法一、代数法
S=1/2(√3*sina+√6*sinb+√2*sinc) (a,b,c为∠APC,∠BPC和∠APB)
显然a+b+c=2π 所以由三角公式：cosa=cos(2π-a)=cos(b+c)=cosbcosc-sinbsinc （**）
由sinb^2+cosb^2=1 可以将上式转化成只有cos项的式子
由余弦定理：
cosb=1/2√6*(1+2√3cosa)
cosc=1/2√2*(2√3cosa-1)
代入**式可以得到只关于cosa的方程,解得cosa=-√3/6即可得到sina,sinb,sinc
然后将上述各值代入面积计算方程就可求得面积为S=5√3/4
该方法的化简做法是直接求边长平方值,在此不在赘述.（需要高阶方程换元计算解题技巧）
解法二、几何法
将B作为原点,BC为X轴,则
A(k/2,√3/2k) B(0,0) C(k,0) P(x,y)
采用距离公式：
x^2+y^2=1 （1）
(x-k)^2+y^2=2 （2）
(x-k/2)^2+(y-√3/2k)^2=3 （3）
通过简化计算,把（1）,（2）代入（3）式可得：
k^4-6k^2+5=0
所以k^2=1或者5
因为1+1