Question

线性代数AX＝B，A不可逆 举例求通解

Answer 1

按要求举例如下 .
AX= B,
A =
[1 -1 3 -4]
[3 -3 5 -4]
[2 -2 3 -2]
[3 -3 4 -2]
B^T = (3 1 0 -1)
增广矩阵 （A，B）=
[1 -1 3 -4 3]
[3 -3 5 -4 1]
[2 -2 3 -2 0]
[3 -3 4 -2 -1]
第 1 行 -3 倍， -2倍， -3 倍 分别加到第 2， 3， 4 行， 初等行变换为
[1 -1 3 -4 3]
[0 0 -4 8 -8]
[0 0 -3 6 -6]
[0 0 -5 10 -10]
第 2 行乘以 -1/4， 然后 -3 倍， 3倍， 5 倍 分别加到第 1， 3， 4 行， 初等行变换为
[1 -1 0 2 -3]
[0 0 1 -2 2]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
r(A, B) = r(A) = 2 < 4, 方程组有无穷多组解。
取 x2， x4 为自由未知量， 方程组化为
x1 = -3 + x2 - 2x4
x3 = 2 + 2x4
取 x2 = x4 = 0， 得特解 （-3， 0， 2，0)^T.
导出组为
x1 = x2 - 2x4
x3 = 2x4
取 x2 =1， x4 = 0， 得基础解系 （1， 1， 0，0)^T；
取 x2 =0， x4 = 1， 得基础解系 （-2， 0， 2，1)^T；
方程组 AX = B 的通解为
X = （-3， 0， 2，0)^T + c(1， 1， 0，0)^T + k(-2， 0， 2，1)^T.
c， k 为任意·常数。

Answer 2

例如
A=
1,1,1
2,2,2
2,3,4
显然不可逆
B=
3
6
9
求解很简单
a) 组成增广矩阵A|B
1,1,1,3
2,2,2,6
2,3,4,9
对它进行行变换成阶梯矩阵得到
1,0,-1,0
0,1,2,3
0,0,0,0
得到解为
取第三个变量x3=c，则x1 =c, x2=3-2c
所以通解为(0,3,0)+(1,-2, 1) c