Question

曲线积分的应用：求质量均匀心脏线的质心

Answer 1

^面积=2*1/2∫r^2dθ 积分区间（0，π）

∫∫xdxdy

=∫r*cosθ*r^2dθ 积分区间（0，2π）

=∫[a(1+cosθ)]^3*cosθdθ

=a^3*∫(cosθ+3(cosθ)^2+3(cosθ)^3+(cosθ)^4dθ

=a^3*(sinθ+3/2(θ+1/2sinθ)+3sinθ-(sinθ)^3+∫(cosθ)^4dθ

∫(cosθ)^4dθ=3θ/8+sin4θ/32+sin2θ/4

代入区间（0，2π）

只有3/2θ，3θ/8 不为0

所以原式=15πa^3/4

相除=5/6*a

扩展资料：

先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。

对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分，dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

参考资料来源：百度百科-曲线积分