Question

函数极限为什么先使右极限有理化？

Answer 1

将右极限有理化的方法主要是为了方便计算和处理一些特殊的函数极限。具体来说，如果一个函数的极限存在但不是有理数，那么我们可以先把右侧的极限有理化，也就是将极限中的无理数项转化为有理数项，这样可以更方便地进行计算和讨论。
例如，在计算以下函数的极限时：
lim x->2 (sqrt(x+1)-sqrt(3))/(x-2)
由于在x趋向2的过程中，分母会趋近于0，所以我们不能直接将x=2代入函数来计算极限。我们可以将分子有理化，即：
sqrt(x+1)-sqrt(3) = (sqrt(x+1)-sqrt(3)) × (sqrt(x+1)+sqrt(3))/(sqrt(x+1)+sqrt(3))
= (x-2)/(sqrt(x+1)+sqrt(3))
将这个有理化后的分式代入原函数中，我们得到：
lim x->2 [(sqrt(x+1)-sqrt(3))/(x-2)] = lim x->2 [(x-2)/(x-2)(sqrt(x+1)+sqrt(3))]
= lim x->2 [1/(sqrt(x+1)+sqrt(3))]
此时，我们可以直接将x=2代入，得到：
lim x->2 [1/(sqrt(x+1)+sqrt(3))] = 1/(sqrt(2+1)+sqrt(3)) = 1/(2sqrt(2)+sqrt(3))
这个极限可以表示为一个有理数与无理数的和，但我们已经将其转化为有理数的形式，这样更容易计算和讨论。
总之，将右极限有理化的方法是一种方便的计算和处理函数极限的技巧，但并不是所有的极限都需要使用这个方法，具体的处理方法应根据具体的函数形式和计算需要来决定。