Question

微分方程的通解

Answer 1

通解，对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

在物理中经常会用到，被称作亥姆霍兹方程。它的解中具有两个常数c1和c2。当c1和c2取某个特定值时所得到的解称为方程的特解。例如y=6*cos(x)+7*sin(x)是该方程的一个特解。

Answer 2

本题微分方程的计算，需要用到微分方程换元法，具体步骤如下：
y^2dx+(x^2-xy)dy=0
y^2dx=(xy-x^2)dy
dy/dx=y^2/(xy-x^2)=(y/x)^2/[(y/x)-1]
设y/x=u，则y=xu，dy=udx+xdu,即dy/dx=u+xdu/dx.
u+xdu/dx=u^2/(u-1)
化简得：
xdu/dx=1/(u-1)
(u-1)du=dx/x,
两边积分得：
∫（u-1）du=∫dx/x
(1/2)(u-1)^2=lnx+C1.
再把u以x，y代回，得微分方程的解为：
即：(y/x-1)^2=2lnx+C.