Question

f(x)=x²-2x+alnx单调性？

Answer 1

首先需要求出函数 f(x) 的导数 f'(x)：
f(x) = x² - 2x + a ln x
f'(x) = 2x - 2 + a/x
当 f'(x) > 0 时，函数 f(x) 单调递增；当 f'(x) < 0 时，函数 f(x) 单调递减。
因此，我们需要求出函数 f'(x) 的零点：
2x - 2 + a/x = 0
解得 x = a/2
当 x < a/2 时，f'(x) < 0，函数 f(x) 单调递减；当 x > a/2 时，f'(x) > 0，函数 f(x) 单调递增。
综上所述，函数 f(x) 在 x ∈ (0, a/2) 单调递减；在 x ∈ (a/2, +∞) 单调递增。

Answer 2

我们对函数f(x)进行求导数操作，得到其导函数：

f'(x) = -4x + 1/x

接下来，我们需要分析f'(x)在定义域内的符号情况，以判断f(x)的单调性。
当x < 0时，由于ln(x)没有定义，所以f(x)没有意义，需要排除。

当0 < x < 1/2时，f'(x) = -4x + 1/x < 0，
因为-4x < 0且1/x > 0，即f(x)在(0,1/2)上是单调递减的。
当x = 1/2时，f'(1/2) = 0，这里不能判断单调性，需要进一步分析。
当x > 1/2时，f'(x) = -4x + 1/x > 0，因为-4x <0 且 1/x > 0，即f(x)在(1/2,+∞)上是单调递增的。

综上所述，f(x)在定义域内的单调性如下：
当x∈(0,1/2)时，f(x)单调递减；

当x∈(1/2,+∞)时，f(x)单调递增；

并且，在x=1/2处，f(x)存在一个驻点（即导数为零的点），因此不能判定其单调性。

Answer 3

首先，我们可以对 �(�)=�2−2�+ln⁡�f(x)=x2−2x+lnx 求导数：
�′(�)=2�−2+1�f′(x)=2x−2+x1
接下来，我们通过分析 �′(�)f′(x) 的符号来确定 �(�)f(x) 的单调性。
当 �<0x<0 时，�′(�)=2�−2+1�<0f′(x)=2x−2+x1<0，因为前两项是负数，最后一项也是负数，所以 �′(�)<0f′(x)<0。这说明在 �<0x<0 的区间内，�(�)f(x) 是单调递减的。
当 0<�<120<x<21 时，�′(�)=2�−2+1�>0f′(x)=2x−2+x1>0，因为前两项是负数，最后一项是正数，所以 �′(�)>0f′(x)>0。这说明在 0<�<120<x<21 的区间内，�(�)f(x) 是单调递增的。
当 �=12x=21 时，�′(�)=0f′(x)=0，这意味着 �(�)f(x) 在 �=12x=21 处取得极小值。
当 12<�21<x 时，�′(�)=2�−2+1�>0f′(x)=2x−2+x1>0，因为前两项是正数，最后一项也是正数，所以 �′(�)>0f′(x)>0。这说明在 12<�21<x 的区间内，�(�)f(x) 是单调递增的。
综上所述，�(�)f(x) 在 �<0x<0 区间内是单调递减的，在 0<�<120<x<21 区间内是单调递增的，在 12<�21<x 区间内也是单调递增的。