Question

求解高等数学题目，急~！

由于是公选课考试题目，明天下午就要考了，比较急，谢谢了，最好有过程~!一共有4题，后三题我都拍了传上来了，前一题是

1。设f(x)对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2） 且f'(0)=1 证明f'(x)=1

Answer 1

1.令x1=x2=0 得f（0）=0 f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)
（x1趋近于x）f`(x)=lim[f(x1)-f(x)]/(x1-x)=lim[f(x1-x)-f(0)]/(x1-x-0)=
f`(0)=1
2.C=0.5 注意第二个式子的右边其实是f（x）在正无穷处的导数
所以lim（x+c/x-c）^x=e利用重要极限
3.因为f（x）=x^p是凹函数 根据那个什么什么不等式f(x)+f(1-x)小于等于f(x+1-x)=f(1)所以x^p+(1-x)^p小于等于1
大于等于号可以求导 得出1/2是极小值点 而f（x）是凹函数 所以1/2是最小值点 带入可得（不过好像有点不太严密）
4.f`(t)=lna*a^t-a=0 t=ln[a/lna]/lna=1-ln(lna)/lna 然后对a求导求出唯一的驻点a=e 所以t（a）的最小值是e

Answer 2

1、首先，得到f(0)＝0
其次，f'(x)＝lim(h→0) [f(x+h)－f(x)]/h＝lim(h→0) [f(h)－0]/h＝f'(0)＝1

2、左边，[(x+c)/(x-c)]^x＝(1+c/x)^x/(1-c/x)^x，分子的极限是e^c，分母的极限是e^(-c)，所以，左边的极限是e^(2c)
右边，用中值定理，f(x)－f(x-1)＝f'(ξ)，再使用已知条件，极限是e
所以，2c＝1，c＝1/2

3、设f(x)＝x^p＋(1-x)^p，x∈[0,1]
f'(x)＝p[x^(p-1)-(1-x)^(p-1)]，令f'(x)＝0得x＝1/2
f(0)＝f(1)＝1，f(1/2)＝1/2^(p-1)
所以，f(x)在[0,1]上的最大值是1，最小值是1/2^(p-1)
所以，1/2^(p-1)≤x^p＋(1-x)^p≤1

4、f'(t)＝a^t×lna－a，令f'(t)＝0得t(a)＝[lna－ln(lna)]/lna＝1－ln(lna)/lna
讨论函数f(x)＝1－ln(lnx)/lnx，x＞0
f'(x)＝[ln(lnx)－1]/[x(lnx)^2]，令f'(x)＝0得x＝e，f(e)＝1，判断得f(e)是最小值
所以，当a＝e时，t(a)取得最小值