Question

已知向量组α1，α2，α3线性无关，向量组β1=α1+2α2，β2=-α1+α2-3α3？

已知向量组α1，α2，α3线性无关，向量组β1=α1+2α2，β2=-α1+α2-3α3，，β3=3α1+6α3，证明向量组β1，β2，β3线性相关

Answer 1

为了证明向量组β1，β2，β3线性相关，我们需要找到一组不全为零的实数c1，c2，c3，使得它们的线性组合等于零向量，即：
c1β1 + c2β2 + c3β3 = 0
根据β1，β2，β3的定义，我们可以将其表示为α1，α2，α3的线性组合：
c1(α1+2α2) + c2(-α1+α2-3α3) + c3(3α1+6α3) = 0
化简得到：
(c1-c2+3c3)α1 + (2c1+c2+6c3)α2 + (-3c2+6c3)α3 = 0
由于α1，α2，α3线性无关，因此上述方程只有所有系数都为零的解才能成立。即：
c1 - c2 + 3c3 = 0
2c1 + c2 + 6c3 = 0
-3c2 + 6c3 = 0
解得：
c1 = -6c3
c2 = -2c3
因此，取任意非零实数c3，就可以得到一组不全为零的c1，c2，c3，使得它们的线性组合等于零向量，从而证明向量组β1，β2，β3线性相关。

Answer 2

要判断向量组β1，β2的线性相关性，我们可以尝试将β1，β2表示为α1，α2，α3的线性组合，即：
β1 = k1α1 + k2α2 + k3α3
β2 = l1α1 + l2α2 + l3α3
其中k1，k2，k3，l1，l2，l3为待求系数。
我们可以通过β1，β2和α1，α2，α3的关系来求解这些系数，即：
β1 = α1 + 2α2 = 1α1 + 2α2 + 0α3
β2 = -α1 + α2 - 3α3 = -1α1 + 1α2 - 3α3
因此，我们可以得到：
k1 = 1, k2 = 2, k3 = 0
l1 = -1, l2 = 1, l3 = -3
因此，向量组β1，β2可以表示为向量组α1，α2，α3的线性组合，即：
β1 = α1 + 2α2
β2 = -α1 + α2 - 3α3
这意味着向量组β1，β2线性相关。

Answer 3

首先，我们可以将β1，β2，β3用α1，α2，α3来表示：
β1 = α1 + 2α2 = 1α1 + 2α2 + 0α3
β2 = -α1 + α2 - 3α3 = -1α1 + 1α2 - 3α3
β3 = 3α1 + 6α3 = 3α1 + 0α2 + 6α3
接下来，我们考虑证明β1，β2，β3线性相关。我们可以尝试用β1，β2，β3的线性组合来表示0向量，即：
k1β1 + k2β2 + k3β3 = 0
其中，k1，k2，k3是实数。将β1，β2，β3用α1，α2，α3来表示，我们得到：
(k1- k2 + 3k3)α1 + (2k1 + k2)α2 + (-3k2 + 6k3)α3 = 0
由于α1，α2，α3线性无关，所以只有当系数全部为0时，上式成立。因此，我们需要解方程组：
k1 - k2 + 3k3 = 0
2k1 + k2 = 0
-3k2 + 6k3 = 0
通过计算，我们可以发现，方程组有非零解，例如k1 = -1，k2 = -2，k3 = -1，因此β1，β2，β3线性相关，证毕。

Answer 4

可以先求出向量组 β1 和 β2 是否线性无关，方法是将它们表示为 α1、α2、α3 的线性组合，然后判断其系数是否都为零。
β1 = α1 + 2α2，可以表示为：β1 = 1α1 + 2α2 + 0α3
β2 = -α1 + α2 - 3α3，可以表示为：β2 = -1α1 + 1α2 - 3α3
因此，向量组β1和β2也是线性无关的向量组。

Answer 5