Question

(xy+x)dx+(y^2+x)dy=0

判断是否为可分离变量的微分方程，求其通解

Answer 1

这是一个非可分离变量的微分方程。
如果它是一个可分离变量的微分方程，那么左边的式子可以写成 d(x * y + (x^2)/2) = (y^2 + x) dx + (x * y + x)dy，但我们不能这样做。
但是，我们可以使用积分因子的方法来求解它。
首先，我们求出积分因子：
u = e^(∫p(x) dx) = e^(∫y^2+x dx) = e^((x^2)/2 + xy)
然后，我们将原方程乘以积分因子：
u(xy + x)dx + u(y^2 + x)dy = 0
这是一个可分离变量的微分方程，因此我们可以求解：
∫ u(xy + x)dx = -∫(y^2 + x)dy
u * x * y + (u * x^2)/2 = - y^2/2 - xy + C
将积分因子的逆运用到得到的结果：
xy + x^2/2 = -y^2/2 - xy + C * e^(- (x^2)/2 - xy)
整理得到：
x^2/2 + y^2/2 = C * e^(- (x^2)/2 - xy)
这是通解。因为 C 是常数，所以方程的每个特解都可以表示为上式中的形式。

Answer 2

(x²+y)dx+(x+y)dy=0=>x²dx+ydx+xdy+ydy=0=>d(x³/3)+d(xy)+d(y²/2)=0=>d(x³/3+xy+y²/2)=0∴原方程的通解是x³/3+xy+y²/2=C(C是积分常数