Question

设A是n阶方阵(n≥2)，证明：|A|*=|A|n-1

Answer 1

【答案】：[证明]因为AA^*=|A|E ①
①式两边取行列式，得：|A||A^*|=|A|ⁿ
若|A|≠0，则|A^*|=|A|^n-1．
若|A|=0．则|A^*|=0，否则，若|A^*|≠0，则A^*可逆．
由|A|=0得：①式为AA^*=O． ②
②式两边同时右乘以(A^*)^-1，得
AA^*(A^*)^-1=O。即A=O，从而A^*=O，与|A^*|≠0矛盾，所以|A^*|=0
即当|A|=0时，|A^*|=0，有|A^*|=|A|^n-1成立．
综上所述，对n阶方阵A(n≥2)，有|A^*|=|A|^n-1．